那么上图就是这样一个二阶多项式的图像表示。这个函数每接受一个x的值，就会“吐出来”一个f(x)的值，这样你就有了很多很多(x,f(x))的点，他们组成了上面这条曲线。我们看到了上面有两个红色的点，我们称之为“零点”或者“根”。那我们还观察到了这个二阶多项式有两个根。一个自然的问题就是n阶多项式都有n个根嘛？不难证明以下定理:

• Theorem 1:在实数域\(\mathbb{R}\)上，如果一个n阶多项式有超过n个不同的根，那么它一定是零多项式，即多项式中所有的系数\(a_i\)都为0.

​所以我们看到一个n阶非零的多项式最多也就有n个零点。

那么假设我们提前不知道这个多项式的系数，而只知道它是一个三阶多项式，我们需要观测几个点才可以确定下来这个多项式呢？数学上有如下定理：

• Theorem 2:n阶多项式可以由(n+1)个不同的观测点(x,f(x))唯一确定下来

​也就是说，针对上图这种情况，如果我们已知是三阶多项式，我们需要四个红色的点就可以复原整条虚线了。但是如果我们观测的点少于四个，那么将会有无数条线都可以满足这个条件。那么利用这个性质，我们可以用它来做什么呢？我们可以用它来做一个密钥系统。

假设我们有一个秘密，这个秘密可以用数据D来表示，我们的目标是设计一个密钥系统把这个秘密D拆分成\(D_1,D_2,\cdots,D_n\),分给n个人，这个密钥系统可以实现：

• 当大于等于k个人提供出他们的\(D_i\)之后，系统可以解码秘密\(D\)
• 但是当少于k个人提供出他们的\(D_i\)之后，秘密\(D\)仍然是完全不能确定的

这样一个密钥系统称之为\((k,n)\)阈值方案。一个很经典的阈值方案在1979年被以色列科学家Adi Shamir提出（就是RSA加密里面的S先生）。这个方案就基于了上述的多项式的性质。假设我们的秘密可以被一个整数\(D\)来描述，我们选择一个大的质数\(p\),以下所有运算都是针对\(p\)的模运算。那么我们可以随机生成一个\(k-1\)阶的多项式：
\[q(x)=a_0+a_1*x+\cdots+a_{k-1}*x^{k-1}\]
使得\(a_0=D\)，然后我们可以计算\(D_1=q(1),D_2=q(2),\cdots,D_n=q(n)\)分配给n个人。这样任何超过\(k\)个\(D_i\)放在一起都可以解码\(D\)，而少于\(k\)个\(D_i\)都完全没法确定\(D\)，即\(D\)是在[0,p]之间等概率分布的。
这样一个密钥系统有什么好处呢？

• 首先，它可以根据人的层级来分配他拿到的部分信息的重要性。假设一个公司有一个总裁，和2个副总裁还有几个经理，这个公司的任何文件通过都需要4票通过，根据股权总裁具有三票投票权，副总裁具有两票投票权，经理具有一票投票权，总股权是n，那么我们可以设计一个这样的\((4,n)\)阈值方案，给总裁\(D_1,D_2,D_3\),副总裁\(D_4,D_5\)，以此类推。那么每次远程讨论某议题结束需要投票的时候，统一的人可以自动把自己的密钥\(D_i\)放到系统里面，如果有超过四个密钥被收集到，系统就会解码\(D\)，进而访问公司内部文件。如果没有四个密钥被收集，那么将不能解码，也就是投票失败。
• 其次，产生密钥信息\(D_i\)是dynamic的，所以当有新的人拿到投票权之后我们可以很容易产生新的\(D_i\)而不影响其他人，和系统的密码\(D\)，删除也是如此
• 并且，我们可以很容易的定期更新每个人手上的密钥\(D_i\)而无需修改密码\(D\)

​
​这篇文章的加密方案是1979年由Adi Shamir(著名RSA加密中是S-先生)提出的，这篇文章只有短短两页，运用的数学知识也是大家都学过的中学数学，却可以写出如此精妙绝伦的故事，让我看完之后时常感叹，也许这就是创造力吧！
疫情期间发生的事情千奇百怪，不过每次阅读到经典的论文，或者专注下来思考的时候，很多外部的扰动就消失了，能有时间坐下来完成一些有趣的事情，而不是为了达到某些目的而做事情，真的是一种奢侈的享受。